Szybkość pocisku wystrzelonego z działka na platformie kolejowej

To rozwiązanie zadania składa się z kilku kroków. Rozpocznijmy od analizy danych i tego, czego szukamy.

Dane: - Masa platformy kolejowej: $m_p = 16 \, \text{t} = 16000 \, \text{kg}$ (przekonwertowane na kilogramy) - Masa działa: $m_d = 3 \, \text{t} = 3000 \, \text{kg}$ (przekonwertowane na kilogramy) - Masa pocisku: $m = 50 \, \text{kg}$ - Kąt lufy działa względem poziomu: $\alpha = 60^\circ$ - Przebyta droga platformy: $s = 3 \, \text{m}$ - Czas, w którym platforma przebyła drogę: $t = 6 \, \text{s}$

Szukane: - Szybkość pocisku $v$

Zastosujemy zasadę zachowania pędu, zakładając, że pęd przed wystrzałem jest równy pędowi po wystrzale. Przed wystrzałem cały system (platforma i działo) jest w spoczynku, więc pęd wynosi 0. Po wystrzale pęd musi nadal wynosić 0, ale pęd platformy z działem i pęd pocisku będą miały przeciwne kierunki.

Pęd pocisku po wystrzale jest równy $m \cdot v$, gdzie $m$ to masa pocisku, a $v$ to jego szybkość. Pęd platformy z działem po wystrzale jest równy $m_p \cdot v_p$, gdzie $m_p$ to masa platformy z działem, a $v_p$ to szybkość platformy. Pamiętajmy, że działo również ma swoją masę, więc całkowita masa platformy z działem wynosi $m_p + m_d$.

Z zasady zachowania pędu wiemy, że: $$m \cdot v = (m_p + m_d) \cdot v_p$$

Musimy znaleźć $v_p$, czyli szybkość platformy po wystrzale. Możemy to zrobić, wykorzystując równanie ruchu jednostajnie zmiennego: $$s = v_p \cdot t$$

Podstawiamy dane: $$3 \, \text{m} = v_p \cdot 6 \, \text{s}$$

Stąd: $$v_p = \frac{3 \, \text{m}}{6 \, \text{s}} = 0.5 \, \text{m/s}$$

Teraz możemy wrócić do równania z zasady zachowania pędu: $$m \cdot v = (m_p + m_d) \cdot v_p$$

Podstawiamy znane wartości: $$50 \, \text{kg} \cdot v = (16000 \, \text{kg} + 3000 \, \text{kg}) \cdot 0.5 \, \text{m/s}$$

Rozwiązujemy to równanie, aby znaleźć $v$: $$v = \frac{(16000 \, \text{kg} + 3000 \, \text{kg}) \cdot 0.5 \, \text{m/s}}{50 \, \text{kg}} = \frac{19000 \, \text{kg} \cdot 0.5 \, \text{m/s}}{50 \, \text{kg}}$$

$$v = \frac{9500 \, \text{m/s}}{50} = 190 \, \text{m/s}$$

Ostateczna szybkość pocisku wynosi $190 \, \text{m/s}$.