Znajdowanie maksymalnej wartości pola prostokąta i obliczanie obwodu.

Zadanie polega na znalezieniu największej wartości pola prostokąta o wymiarach $(5x + 2) \times (8 - 2x)$ oraz obliczeniu obwodu tego prostokąta.

Najpierw wyznaczymy funkcję, która będzie przedstawiała pole prostokąta jako funkcję zmiennej $x$: $$P(x) = (5x + 2)(8 - 2x)$$

Rozwińmy to wyrażenie: $$P(x) = 40x - 10x^2 + 16 - 4x$$ $$P(x) = -10x^2 + 36x + 16$$

Mamy więc funkcję kwadratową, gdzie $a = -10$, $b = 36$ i $c = 16$. Ponieważ współczynnik $a$ jest ujemny, parabola opisana przez tę funkcję jest skierowana ramionami w dół, co oznacza, że jej maksymalna wartość znajduje się w wierzchołku paraboli.

Współrzędne wierzchołka paraboli dla funkcji kwadratowej $P(x) = ax^2 + bx + c$ są dane wzorem: $$x_w = -\frac{b}{2a}$$ $$y_w = P(x_w)$$

Podstawiając wartości $a$ i $b$ otrzymujemy: $$x_w = -\frac{36}{2 \cdot (-10)}$$ $$x_w = \frac{36}{20}$$ $$x_w = \frac{9}{5}$$ $$x_w = 1.8$$

Teraz obliczamy wartość $y_w$: $$y_w = P(1.8)$$ $$y_w = -10(1.8)^2 + 36 \cdot 1.8 + 16$$ $$y_w = -10 \cdot 3.24 + 64.8 + 16$$ $$y_w = -32.4 + 64.8 + 16$$ $$y_w = 48.4$$

Największa możliwa wartość pola prostokąta wynosi więc $48.4$ jednostek kwadratowych.

Teraz obliczymy obwód tego prostokąta, gdy $x = 1.8$: $$Obwód = 2 \cdot (5x + 2) + 2 \cdot (8 - 2x)$$ Podstawiamy $x = 1.8$: $$Obwód = 2 \cdot (5 \cdot 1.8 + 2) + 2 \cdot (8 - 2 \cdot 1.8)$$ $$Obwód = 2 \cdot (9 + 2) + 2 \cdot (8 - 3.6)$$ $$Obwód = 2 \cdot 11 + 2 \cdot 4.4$$ $$Obwód = 22 + 8.8$$ $$Obwód = 30.8$$

Obwód tego prostokąta wynosi więc $30.8$ jednostek długości.