Znajdowanie maksymalnej wartości pola prostokąta i obliczanie obwodu.

Dodano: 11.12.2023 14:21:25

Rozwiązanie

Zadanie polega na znalezieniu największej wartości pola prostokąta o wymiarach (5x+2)×(82x)(5x + 2) \times (8 - 2x) oraz obliczeniu obwodu tego prostokąta.

Najpierw wyznaczymy funkcję, która będzie przedstawiała pole prostokąta jako funkcję zmiennej xx: P(x)=(5x+2)(82x)P(x) = (5x + 2)(8 - 2x)

Rozwińmy to wyrażenie: P(x)=40x10x2+164xP(x) = 40x - 10x^2 + 16 - 4x P(x)=10x2+36x+16P(x) = -10x^2 + 36x + 16

Mamy więc funkcję kwadratową, gdzie a=10a = -10, b=36b = 36 i c=16c = 16. Ponieważ współczynnik aa jest ujemny, parabola opisana przez tę funkcję jest skierowana ramionami w dół, co oznacza, że jej maksymalna wartość znajduje się w wierzchołku paraboli.

Współrzędne wierzchołka paraboli dla funkcji kwadratowej P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c są dane wzorem: xw=b2ax_w = -\frac{b}{2a} yw=P(xw)y_w = P(x_w)

Podstawiając wartości aa i bb otrzymujemy: xw=362(10)x_w = -\frac{36}{2 \cdot (-10)} xw=3620x_w = \frac{36}{20} xw=95x_w = \frac{9}{5} xw=1.8x_w = 1.8

Teraz obliczamy wartość ywy_w: yw=P(1.8)y_w = P(1.8) yw=10(1.8)2+361.8+16y_w = -10(1.8)^2 + 36 \cdot 1.8 + 16 yw=103.24+64.8+16y_w = -10 \cdot 3.24 + 64.8 + 16 yw=32.4+64.8+16y_w = -32.4 + 64.8 + 16 yw=48.4y_w = 48.4

Największa możliwa wartość pola prostokąta wynosi więc 48.448.4 jednostek kwadratowych.

Teraz obliczymy obwód tego prostokąta, gdy x=1.8x = 1.8: Obwoˊd=2(5x+2)+2(82x)Obwód = 2 \cdot (5x + 2) + 2 \cdot (8 - 2x) Podstawiamy x=1.8x = 1.8: Obwoˊd=2(51.8+2)+2(821.8)Obwód = 2 \cdot (5 \cdot 1.8 + 2) + 2 \cdot (8 - 2 \cdot 1.8) Obwoˊd=2(9+2)+2(83.6)Obwód = 2 \cdot (9 + 2) + 2 \cdot (8 - 3.6) Obwoˊd=211+24.4Obwód = 2 \cdot 11 + 2 \cdot 4.4 Obwoˊd=22+8.8Obwód = 22 + 8.8 Obwoˊd=30.8Obwód = 30.8

Obwód tego prostokąta wynosi więc 30.830.8 jednostek długości.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się