Zadanie polega na znalezieniu największej wartości pola prostokąta o wymiarach (5x+2)×(8−2x) oraz obliczeniu obwodu tego prostokąta.
Najpierw wyznaczymy funkcję, która będzie przedstawiała pole prostokąta jako funkcję zmiennej x:
P(x)=(5x+2)(8−2x)
Rozwińmy to wyrażenie:
P(x)=40x−10x2+16−4x
P(x)=−10x2+36x+16
Mamy więc funkcję kwadratową, gdzie a=−10, b=36 i c=16. Ponieważ współczynnik a jest ujemny, parabola opisana przez tę funkcję jest skierowana ramionami w dół, co oznacza, że jej maksymalna wartość znajduje się w wierzchołku paraboli.
Współrzędne wierzchołka paraboli dla funkcji kwadratowej P(x)=ax2+bx+c są dane wzorem:
xw=−2ab
yw=P(xw)
Podstawiając wartości a i b otrzymujemy:
xw=−2⋅(−10)36
xw=2036
xw=59
xw=1.8
Teraz obliczamy wartość yw:
yw=P(1.8)
yw=−10(1.8)2+36⋅1.8+16
yw=−10⋅3.24+64.8+16
yw=−32.4+64.8+16
yw=48.4
Największa możliwa wartość pola prostokąta wynosi więc 48.4 jednostek kwadratowych.
Teraz obliczymy obwód tego prostokąta, gdy x=1.8:
Obwoˊd=2⋅(5x+2)+2⋅(8−2x)
Podstawiamy x=1.8:
Obwoˊd=2⋅(5⋅1.8+2)+2⋅(8−2⋅1.8)
Obwoˊd=2⋅(9+2)+2⋅(8−3.6)
Obwoˊd=2⋅11+2⋅4.4
Obwoˊd=22+8.8
Obwoˊd=30.8
Obwód tego prostokąta wynosi więc 30.8 jednostek długości.