Optymalizacja pola prostokąta i obliczenie jego obwodu przy danych wyrażeniach boków.

Zadanie polega na znalezieniu maksymalnego pola prostokąta o bokach w formie wyrażeń $(4z - 6)$ oraz $(80 - 5z)$, a następnie obliczeniu obwodu tego prostokąta. Zacznijmy od zapisania funkcji opisującej pole prostokąta $P(z)$ jako iloczyn długości jego boków:

$$P(z) = (4z - 6)(80 - 5z)$$

Rozwińmy teraz to wyrażenie, wykonując mnożenie:

$$\begin{aligned} P(z) &= 4z \cdot 80 - 4z \cdot 5z - 6 \cdot 80 + 6 \cdot 5z \\ &= 320z - 20z^2 - 480 + 30z \\ &= -20z^2 + 350z - 480 \end{aligned}$$

Mamy więc funkcję kwadratową $P(z) = -20z^2 + 350z - 480$, której maksymalną wartość chcemy znaleźć. Maksymalna wartość funkcji kwadratowej $f(z) = az^2 + bz + c$ osiągana jest w wierzchołku paraboli, którego współrzędna $z$ dana jest wzorem $z = -\frac{b}{2a}$.

Podstawmy zatem nasze wartości $a = -20$ i $b = 350$ do wzoru, aby znaleźć $z$ dla maksymalnego pola:

$$z = -\frac{350}{2 \cdot (-20)} = -\frac{350}{-40} = \frac{350}{40} = \frac{35}{4} = 8.75$$

Teraz, znając wartość $z$, możemy obliczyć wymiary prostokąta:

$$\begin{aligned} szerokość &= 4z - 6 = 4 \cdot 8.75 - 6 = 35 - 6 = 29, \\ wysokość &= 80 - 5z = 80 - 5 \cdot 8.75 = 80 - 43.75 = 36.25. \end{aligned}$$

Mając wymiary prostokąta, obwód $O$ możemy obliczyć jako sumę podwojonych długości boków:

$$O = 2 \cdot szerokość + 2 \cdot wysokość = 2 \cdot 29 + 2 \cdot 36.25 = 58 + 72.5 = 130.5$$

Obwód tego prostokąta wynosi więc $130.5$ jednostek.