Optymalizacja pola prostokąta i obliczenie jego obwodu przy danych wyrażeniach boków.

Dodano: 11.12.2023 14:31:51

Rozwiązanie

Zadanie polega na znalezieniu maksymalnego pola prostokąta o bokach w formie wyrażeń (4z6)(4z - 6) oraz (805z)(80 - 5z), a następnie obliczeniu obwodu tego prostokąta. Zacznijmy od zapisania funkcji opisującej pole prostokąta P(z)P(z) jako iloczyn długości jego boków:

P(z)=(4z6)(805z)P(z) = (4z - 6)(80 - 5z)

Rozwińmy teraz to wyrażenie, wykonując mnożenie:

P(z)=4z804z5z680+65z=320z20z2480+30z=20z2+350z480\begin{aligned} P(z) &= 4z \cdot 80 - 4z \cdot 5z - 6 \cdot 80 + 6 \cdot 5z \\ &= 320z - 20z^2 - 480 + 30z \\ &= -20z^2 + 350z - 480 \end{aligned}

Mamy więc funkcję kwadratową P(z)=20z2+350z480P(z) = -20z^2 + 350z - 480, której maksymalną wartość chcemy znaleźć. Maksymalna wartość funkcji kwadratowej f(z)=az2+bz+cf(z) = az^2 + bz + c osiągana jest w wierzchołku paraboli, którego współrzędna zz dana jest wzorem z=b2az = -\frac{b}{2a}.

Podstawmy zatem nasze wartości a=20a = -20 i b=350b = 350 do wzoru, aby znaleźć zz dla maksymalnego pola:

z=3502(20)=35040=35040=354=8.75z = -\frac{350}{2 \cdot (-20)} = -\frac{350}{-40} = \frac{350}{40} = \frac{35}{4} = 8.75

Teraz, znając wartość zz, możemy obliczyć wymiary prostokąta:

szerokosˊcˊ=4z6=48.756=356=29,wysokosˊcˊ=805z=8058.75=8043.75=36.25.\begin{aligned} szerokość &= 4z - 6 = 4 \cdot 8.75 - 6 = 35 - 6 = 29, \\ wysokość &= 80 - 5z = 80 - 5 \cdot 8.75 = 80 - 43.75 = 36.25. \end{aligned}

Mając wymiary prostokąta, obwód OO możemy obliczyć jako sumę podwojonych długości boków:

O=2szerokosˊcˊ+2wysokosˊcˊ=229+236.25=58+72.5=130.5O = 2 \cdot szerokość + 2 \cdot wysokość = 2 \cdot 29 + 2 \cdot 36.25 = 58 + 72.5 = 130.5

Obwód tego prostokąta wynosi więc 130.5130.5 jednostek.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się